数学建模在人口预测中的应用

题 目: 数学建模在人口预测中的应用 姓 名: 付运铜

专 业: 数学与应用数学 班 级: 2005-2班 院（系）: 数理信息学院 指导教师: 郑承民

师范大学

数学建模在人口预测中的应用

师范大学数理信息学院数学与应用数学05－2班

作者姓名:付运铜

指导教师:郑承民

2009年4月10日

摘要：本文主要研究数学建模在人口中的预测，并精选了人口预测

中的较经典的方法指数增长模型（马尔萨斯人口模型）。阻滞增长模型(Logistic)模型，并进行了对中国人口预测的指数函数模型和离散的二次指数平滑法的模型来讨论各模型在人口预测中的优缺点。中国人口未来的发展趋是与指数离散模型吻合得好还是与阻滞增长函数模型吻合得好。本文对人口预测建立的一套模型，充分结合了中国实际人口的发展趋势，对中短期人口结构的预测比较准确。人口重要参数值有较为可信的预测。同时，我们借助计算机拟合 1引言

人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. 建立数学模型对人口发展过程进行描述.分析和预测

关键词:指数（固定）增长模型（马尔萨斯人口模型） 阻滞增长模型（Logistic模型）二次指数平滑发微分方程的稳定性. 曲线拟合

建模实例：人口增长问题

1. 固定增长率离散变化人口公式

设今年人口为X0,人口的年增长率为r,且保持不变,k年后人口为Xk,则人口公式为XkX0(1r)k(存在很大的局限性和误差）

为了解决离散和局限性尽量减少误差，对论文进行改进利用指数平滑法。（指数平滑法是一种加权预测，权数为。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问 题，甚至有时只需一个最新观察值一般预测与实际吻合较好）不过这种方法也有其局限性，只能做短期的预测并没有函数。

指数（固定）增长模型（马尔萨斯人口模型）马尔萨斯（1766―1834，是英国经济学家和社会学家）在研究百余年的人口统计时发现：单位时间内人口的增加量与当时人口总数是成正比的。马尔萨斯于1798年提出了著名的人口指数增长模型。.

假设人口的增长率是常数r,即单位时间内人口增长量与当时的人口数成正比,比例系数为r.基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口现考察一个国家或一个地区的人口数.记时刻t的人口数为x(t)（一般x(t)是很大的整数）,且设X(t)为连续可微函数.x(t)|t0x0.任给时刻t及时间增量t,则t到tt内人口的增量为（由假设知）xttxtrxtt.两边除以t,并令t0,得到

dxtrxt………(2)称为马尔萨斯人口发展方程。 dtx0x0这是一个常系数齐次线性微分方程的初值问题（柯西问题）,其解为.X(t)X(0)ert

注：①将t以年为单位离散化,并设r<<1则.e1r

X(t)X(0)ertX0(1r)

得到 X(t)X(0)(1r)

就是前面的离散公式,即前面的公式就是指数增长模型离散形式的近似表示.

分析时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性。与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测，能预测较长期的

人口增长过程（1）考虑美国人口变化问题. 在用了中国今年人口增长数据进行做图 中国人口数量表（单位：千万）

年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 人口 60.2 61.5 62.8 .6 66.0 67.2 66.2 65.9 67.3 年份 1963 19 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 人口 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83.0 85.2 年份 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 人口 87.1 .2 90.9 92.4 93.7 95.0 96.25 97.5 98.70 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 19 人口 100.1 101.6 103.0 104.3 105.8 107.5 109.3 111.0 112.7 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人口 114.3 115.8 117.1 118.5 119.8 121.1 122.3 123.6 124.7 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 人口 125.7 126.7 127.6 128.4 129.2 129.9 130.7 （

3. 阻滞增长模型（Logistic模型）

一、模型的准备

阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。假设人口增长率r为常量,所得模型与实际不相合,设人口增长率函数为rx（是x的函数）,则所得方程为

dxtr(x)x(t)dtx(0)x0

由实际情况分析知：将r表为x(t)的函数r(x),且设r(x)是x的减函数. 最简单的情形：r(x)为x的线性减函数r(x)rsx,r,s0.

这里r相当于x0时的增长率称为固有增长率,又设最大人口容量（即自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量）为xm.则rxm0,即

rsxm0,sxmxxr1.故rxr或.得到阻滞增长模型rxrxxmxmmdx(t)xr1xx （Logistic模型）：dtmx(0)x0这个非线性微分方程是可分离变量微分方程.由分离变量法,求得其解

1x1mdxrdtx(t)xx11为xm，积分得出。

xmxmrt1xe0. 阻滞增长模

型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 （Xm）用统计数据用最小二乘法作拟合

美国人口数据（单位~百万） 美国人口数据统计表 年 人口 年 人口 年 人口 1790 3.9 1870 38.6 1950 1800 5.3 1880 50.2 1960 1810 7.2 10 62.9 1970 1820 9.6 1900 76.0 1980 1830 12.9 1910 92.0 1990 1840 17.1 1920 1850 23.2 1930 1860 31.4 1940 106.5 123.2 131.7 2000 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 r=0.2557, Xm=392.1阻滞增长模型(Logistic模型)模型检验用模型计算

1X(1990)X(2000)X(1990)XX(1900)rX(1990)2000年美国人口，与实际

Xm数据比较X(2000)274.5(万人)

dx/dt

0

xm/2 x

x

x xm xm/2 x0 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢

2.1 微分方程基本知识1. 微分方程的概念常微分方程的平衡点及其稳定性未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。） 常微分方程的平衡点及其稳定性关于常微分方程的平衡点及其稳定性，仅讨论右端不显含自变量tdx的一阶微分方程f(x)dtt

(0.1)称代数方程f(x)=0的实根x=X0为方程

(1.1)的平衡点（或奇点）。它也是方程(1.1)的解。在实际问题中，我

（均指t）时问们不仅要得到问题的解，有时还要得到t题的解的变化趋势。如果从一定范围内的初始条件出发，方程(1.1)

X0(t的解X(t)都满足，x(t))，则称平衡点X0是稳定的。下

面给出不易由定义判别平衡点X0是否稳定的方法。在X0处将f(x)作泰

勒（Taylor）展开，只取线性部分得方程(1.1)的近似线性方程 错误！

dx未找到引用源。。f(x0)(xx0).易知x0也是方程(1.2)的平衡点，(1.2)

xt的通解为X(t)ef(x0)t+X0.关于x0是否稳定有一下结论：（1）若

f(x0)0，则X0对于方程(1.2)和(1.1)都是稳定的；（2）若f(x0)0,则X0对于方程(1.2)和(1.1)都是不稳定的；为了对以后一定时期内的人口数做出预测，首先从中国经济统计数据库上查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如下表。为了减少计算量也不影响模型预测我选取了（中国1992—2004的人口数据进行预测）各年份全国总人口数（单位：千万）题一:利用下载的中国（1954-2005）人口进行离散的

预测在进行对比主要拿出了该校近几十年来中国人口数据进行预测在与阻滞模型对比，。首先要进行预测因为表中的数据与时间有关所以我们运用（应用时间序列平滑预测法中的二次指数平滑法），二次指数平滑法也称布朗指数平滑法。二次指数平滑值记为Si(2)它是对一次指数平滑值

Si1计算的平滑值，即

Si2Si1(1)Si21 二次指数平滑法主要用于变参数线性趋势时间

序列的预测。变参数线性趋势预测模型的表达式为：yi1aibiT（2）式的预测模型与一般的线性趋势模型的区别在于，式中ai、

bi是参数变量，随着时间自变量t的变化而变化，即直线在各时

期的截距和斜率是可能不同的； T是从t期开始的预测期数。运用二次指数平滑法求解（2）式可得参数变量的表达式，即

at2St(1)St(2)b(St(1)St(2))t1 （3）根据（3）求出各期参数变量的取值，

代入（2）式，则具有无限期的预测能力，当仅作一期预测时，有yi1aibi2Si(1)Si(2)(Si(1)Si(2))2(1)1SiSi(2)（4） 11根据绘制的散点图（如下），不同的时期直线有不同的斜率，因此考虑用变参数线性趋势模型进行预测。具体步骤如下：首先计算一次指数平滑值。取0.7， S0(2)S0(1)y1，根据一次指数平滑

1)公式Si(1)yi(1)Si(1，可计算各期的一次指数平滑预测值： (1)10.7*y20.3*S1117.1S10.7y0.3S0.S2同理可得各年的一次指

数平滑预测值，见表中第四列。其次用同样的方法根据第一步计算的Si(1)，计算各期的二次指数平滑值，在表中第五列。如：

(2)(2)S1(2)0.7S1(1)0.3S0117.1在如；S1(2)0.7S1(1)0.3S0117.6

其余各期以此类推。

在计算各期参数变量值ai，bi。根据（3）式，可计算各期的ai、

bi，分别见表第六列、第七列。如

(1)(2)a22S2S22*30.93031.80.7(1)(2)b(SS)(30.930)2.1222110.7

2000年预测值y=a8b8=126.7+1.1=127.8； 2004年预测值 y=a13b13=130+0.9=130.9；

进行外推预测,则2014预测值y=a+b×10=130+9=139； 十年来中国人口预测值

各期各期中国年份 编号 人口 指数指数一次二次A B 平滑平滑值S1 ○1 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ○2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ○3 117.1 118.5 119.8 121.1 122.3 123.6 124.7 125.7 126.7 127.6 128.4 129.2 129.9 ○4 值S2 ○5 ○6 ○7 0 0 0 117.1 117.1 117.1 117.9 119.0 120.2 121.4 122.7 123.9 124.9 126.0 127.8 127.8 128.6 129.4 117.1 117.6 118.4 119.5 120.7 121.9 123.1 124.2 125.3 126.3 127.2 128.0 128.8 0 118.2 119.6 0.45 0.9 120.9 1.1 122.1 125.5 124.7 125.6 126.7 129.3 128.4 129.2 1.0 1.8 1.2 1.1 2.1 2.2 0.9 0.9 0.9 130 预测的2014年的中国人口约为十四亿 测结果看出人口数量趋于慢增长把各年的预测值绘成曲线与原时间序列的散点图比较可以看出，二次指数平滑法由于考虑了时间序列在不同时期直线参数的变化，其预测值与原时间序列的拟合程度非常

好。我们只选了1992年至2004年的中国人口数据

参考文献

姜启源 谢金星 叶俊《数学模型》 刘成平 《数学建模方法》

中国经济统计数据库（http://211.86.245.155/index.aspx）上查到我国从1954年到2005年全国总