(学习指导) 对数的概念Word版含解析

学 习 目 标 1.理解对数的概念．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化．(重点) 3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点) 1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a＞0，且a≠1． 2．常用对数与自然对数 3．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga1＝0(a＞0，且a≠1). (3)logaa＝1(a＞0，且a≠1). (4)alogaN＝N

思考：为什么零和负数没有对数？

提示：由对数的定义：ax＝N(a＞0且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

1．log22的值为( )

11

A．－2 B．2C．－2D．2

11

D[设log22＝x，则2x＝2＝22，∴x＝2.]

核 心 素 养 通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理素养与数算素养． 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A．e0＝1与ln 1＝0

1111B．8－3＝2与log82＝－3 C．log39＝2与9＝3

12

D．log77＝1与71＝7

C[根据ab＝N⇔b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．] 3．若lg(lnx)＝0，则x＝________． e[lnx＝1，x＝e.] 4．求下列对数的值：

1

(1)log28；(2)log99；(3)ln e；(4)lg 1. [解](1)设log28＝x，则2x＝8＝23， ∴x＝3.∴log28＝3.

11

(2)设log99＝x，则9x＝9＝9－1，∴x＝－1. 1

∴log99＝－1. (3)ln e＝1. (4)lg 1＝0. 对数的概念

【例1】 已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．

a＋2>0

[解]由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有1－a>0，解得－21－a≠1所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，1). 正确理解对数的概念

(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.

(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化． [跟进训练]

1．若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________．

－2a＋1>01110，3∪3，2[根据题意可得3a>0 

3a≠1

11111

解得0【例2】 求下列各式中x的值： 3

(1)log16x＝－2； (2)logx27＝4.

[思路点拨] 利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值． 11[解](1)由log16x＝－2，得x＝16－2＝16＝256，

1

故x＝256.

3334(2)由logx27＝4，得x＝27，即x4＝33，∴x＝34＝81.

1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N⇔b＝logaN.

2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．

[跟进训练]

2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

11

(1)2－7＝128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.

211－5

[解](1)log2128＝－7；(2)log327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)2＝32；(5)10－3＝

0.001.

对数的性质

【例3】 求下列各式中x的值 (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0.

[解](1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lgx)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000.

(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 1．本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？ [解]由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝，所以x＝5. 2．在本例(3)条件下，计算625log3的值． x[解]因为x＝625，则625log3＝3. x3．本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3log(log(logx))＝1”，又如何求解3 4 5 x呢？ [解]由3log(log(logx))＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 3 4 5 利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：

(1)logaab＝b；(2)alogN＝N.

a

2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．

3．指数式与对数式的互化

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)logaN是loga与N的乘积．( ) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) [答案](1)×(2)×(3)√

2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( ) A．log2M＝a C．loga2＝M [答案]B

2x－1

3．已知log35＝0，则x＝________． 2x－1

3[5＝30＝1，解得x＝3.]

x2

4．若log1x＝m，log1y＝m＋2，求y的值．

241m12m

[解]∵log1x＝m，∴2＝x，x2＝2.

21m＋212m＋4

∵logy＝m＋2，∴4＝y，y＝2. 

1

4

B．logaM＝2 D．log2a＝M

x2∴y＝

12m－（2m＋4）1－4＝2＝2＝16. 2m＋41

2

12m2