向量及向量的基本运算

 向量及向量的基本运算

一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向

量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.

二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．

三、教学过程：

（一）主要知识： 1）向量的有关概念

①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。<注意与0的

区别>

③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一

直线上。相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。记作-a。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。

2）向量加法

①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC。

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）0aa0a；

（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法

 ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）(a)=a； (ii)

a+(a)=(a)+a=0；

(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：aba(b)。求

两个向量差的运算，叫做向量的减法。

ab的作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量b有共同起点）（a、。

注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

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（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积

①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相

反；当0时，a0，方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则

 ①λ(μa)=(λμ) a

 ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 5)两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。

6)平面向量的基本定理

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 7)特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置

有关。

（二）主要方法：

1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；

3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全． （三）例题分析：

例1、判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若ab,则ab (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段



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(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若ab，bc，则ac； (7)若a//b，b//c，则a//c (8)若四边形ABCD是平行四边形,则

ABCD,BCDA

(9)已知A（3，7），B（5，2），将AB按向量a=（1，2）平移后得到的向量AB的坐标为（3，－3）

(10）ab的充要条件是|a||b|且a//b；

解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若b0，则不共线的向量a,c也有a//0，0//c。(8) 不正确, 如图

ABCD,BCDA （9）不正

xx1确，∵a=（1，2），∴平移公式是，将A（3，7），B（5，2）分别代入可求得

yy2。 A(4,9),B(6,4)，故AB=（6,4）－（4,9）=（2,－5）

（10）不正确，当a//b，且方向相反时，即使|a||b|，也不能得到ab；

[点评]正确理解向量的有关概念

例2、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设OAa,OBb,试用a,b表示OM,ON,MN

11111BCBA,BMBAOAOBab 3666615142OMOBBMab . CNCD,ONCDOD

6633322211ONODOAOBab MNONOMab

33326解：BM[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示

练习: △中,ADABC

2AB,DE//BC交AC于E,AM是BC边上中线交DE于N.设ABa,ACb, 3用a,b分别表示向量AE,BC,DE,DN,AM,AN.如图 解：

AE221b,BCba,DEba,DNba333

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AM11ba,ANba 23例3、一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达

对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速．

解：设AB表示垂直于对岸的速度,BC表示水流速度,则AC为实际速度 航行时间为4km÷2km/h=2h 在△ABC中AB2AC4BC23

所以, 河水的流速为23km/h

[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和三角形法则

例4、在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，用向量的方法证明： DE平行且等于0.5BC

分析:要证明DE平行且等于0.5BC,只要DE解：如图DEAEAD,BCAcAB 又D,E为中点

1BC 2AD11AB,AEAC 2211即DEAEADACABBC

221所以DE平行且等于0.5BC

2[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了

GAGBGC0练习: 已知G是△ABC的重心，求证：

证明：以向量GB,GC为邻边作平行四边形GBEC，则GBGCGE2GD，又由G为△

ABC的重心知AG2GD，从而GA2GD，∴GAGBGC2GD2GD0。

例5、设e1,e2是不共线的向量,已知向量AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2,若A,B,D三点共线,求k的值 分析:使ABBD

解：BDCDCBe14e2, 使ABBD2e1ke2(e14e2) 得2,k4k8

[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决

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例3． 经过OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P，Q，

11设OPmOA,OQnOB，m,nR，求的值。

nm1解：设OAa,OBb，则OG(ab)，PQnbma

311PGOGOP(m)ab

33由P,G,Q共线，得

O

P •G Q

B

A

11存在实数，使得PQPG，即nbma(m)ab

331m(m)113从而，消去得：3

nmn13

（四）巩固练习：

1．已知梯形ABCD中，|AB|2|DC|，M，N分别是DC、AB的中点，若ABe1，

ADe2，用e1，e2表示DC、BC、MN．

D M A C

1e解：（1）DCAB1

22N B

11ABe2e1 221111（3）MNMDDAANABADABABADe1e2

4244（2）BCBAACABACADDCABAD2． （1）设两个非零向量

e1、

e2不共线，如果

AB2e13e2,BC6e123e2,CD4e18e2, 求证：A,B,D三点共线.

（2）设

e1、

e2是两个不共线的向量，已知

AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2,若A,B,D三点共线，求k的值.

（1）证明：因为BC6e123e2,CD4e18e2 所以BD10e115e2 又因为AB2e13e2 得BD5AB 即BD//AB

又因为公共点B

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所以A,B,D三点共线；

（2）解：DBCBCDe13e22e1e24e2e1

AB2e1ke2 因为A,B,D共线

所以AB//DB 设DBAB

21所以 即； k1k22四、小结：

1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理

5)平面向量的基本定理, 基底

五、作业：

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